问题描述：在CSiBridge和SAP2000中变截面的参数设置对话框如下图所示。其中包含“EI33变化”和“EI22变化”，这些参数具体会在有限元层级产生什么影响? 高度较大的变截面桥墩对变截面的设置较为敏感，如何定义变截面才能精确地模拟变截面高墩的刚度?
解答：
在CSiBridge和SAP2000中都引入了对象的概念，一个对象一般对应实际工程中的一个梁或柱。一个梁或柱对象可能包含一个或多个框架有限元单元。所以框架截面属性是先指定配给梁或柱对象，再自动分配给其包含的有限元单元，进而生成刚度矩阵。
顾名思义参数“EI33变化”和“EI22变化”是指截面沿22轴和33轴的抗弯刚度的变化规律，可选项为linear、parabolic和cubic，即按线性、二次和三次规律变化。在有限元单元层面，EI33和EI22变化函数是单元刚度积分公式中所必需的参数，它们会直接影响单元矩阵的取值[1]。
为了验证以上结论，建立如图1所示的模型。模型中有多个高20m的变截面柱。截面均为矩形，顶部截面1×2m，底部截面5×2m，梁高线性变化。柱底固接，柱顶部施加10000KN的水平力。Y坐标相同的柱被赋予相同的变截面。变截面名称分别为“linear”、“parabolic”和“cubic”，三个变截面属性中其他参数均相同，仅刚度变化分别设为linear、parabolic和cubic，具体设置如图2所示。X坐标相同的柱具有相同的单元划分方式。第一排柱对象不进行单元划分；第二排采用高级>指定>框架>自动框架划分，将柱对象划分为8个单元；第三排采用高级>编辑>线>分割框架，将柱对象划分为8个单元。有限元分析模型如图3所示。计算结果中各个柱顶部节点位移如图4所示。
图1 模型外观图
图2 各截面刚度变化参数设置
图3 有限元分析模型图
图4 各柱顶部节点水平位移
由图4中可以看到仅包含一个单元的柱对象顶部节点，即1、3、5号节点的水平位移并不相同。说明了刚度变化规律参数会决定有限元层面上变截面单元的单元刚度矩阵；然而不论采用什么方式将柱对象划分为多个单元，对柱顶部节点的位移没有影响。说明该案例中的变截面属性设置将刚度按线性、二次和三次变化的假定扩展到了整个构件。
在商业工程有限元软件中通常为了获得确定并易于计算的单元刚度矩阵，对于单元内部的刚度变化规律只提供线性、二次和三次三种假定。这些刚度变化规律假定只有在特定的情况下与解析解相同。如矩形截面的惯性矩公式如下：
I=(bh3)/12
则梁高沿轴向线性变化时，抗弯刚度按三次函数变化；梁宽沿轴向线性变化时，抗弯刚度按线性函数变化。所以该算例中选择“cubic”变截面所得的结果为精确解，选择“linear”变截面的墩顶位移与之相差将近50%，所以对于高墩来说刚度变化与实际不符会产生不可接受的误差。
对于实际工程中会涉及到的很多变截面高墩，如空心变截面桥墩、几何尺寸不按线性变化的截面。以上案例中变截面中的设置会将原本仅用于有限元单元内部的刚度变化规律扩展至整个构件，模拟方式是不可取的。
对于复杂的变截面高墩，应该建立多个中间截面以正确模拟构件刚度。再建立与上个案例相同的三个变截面柱。新模型变截面属性中将柱对象平均分为4段，并手动定义分段位置的中间截面。三个变截面属性修改如图5所示。其中截面2、3、4是对应位置的中间截面，矩形截面高沿轴线线性变化。模型外观和有限元分析模型如图6、7所示。
图5 修改后的版截面属性
图6 模型外观图
图7 新有限元分析模型
图8 新模型顶点位移计算结果
由上文可知采用“cubic-G”截面的计算结果为精确解。图8中可以看出在设置了中间截面之后，每个单元内部的刚度变化规律取不同值对结果的影响并不大。
结论
总结上文可以得到以下结论：
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“EI33变化”和“EI22变化”（线性、二次和三次）是程序为了得到确定的单元刚度矩阵所假定的单元内部抗弯刚度变化规律。
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高墩构件的实际刚度变化规律通常较为复杂，难以用线性、二次和三次近似。但是如果用户在变截面中只定义了起始和终止截面，程序会将以上假定拓展至整个构件。这与实际情况不符，会产生较大的计算偏差。即使将构件划分为多个单元也不会改善分析精度。正确的做法是在定义变截面时输入构件的中间截面，以描述截面的具体几何变化。
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定义足够数量的中间截面后，各中间节段“EI33变化”和“EI22变化”的设置对结果影响较小。如可以推算刚度变化解析解（如矩形截面仅梁高或梁宽按线性变化时）可按解析解设置。但通常需要按经验设置，如工程中常用的空心截面一般推荐使用二次变化。
参考文献
[1]陈伟平,肖承初. 变截面梁的有限元计算分析[J]. 中国水运(下半月),2011,06:237-238.