问题描述：
在任意动力荷载作用下的单自由度体系，程序是如何进行分析计算的呢？
解答：
任意动力荷载作用下的单自由度体系的求解，既是基于振型叠加法的动力时程分析的基础，也是程序生成反应谱曲线的必需过程。这里，我们以地震动加速度荷载作用下的单自由度体系为例，详细介绍程序的求解过程。具体如下：
1、微分方程的推导
在地震动加速度荷载作用下，单自由度体系的动力平衡方程（也称运动方程）如下：
等式左边的加速度、速度、位移皆为质点相对于地面的相对加速度、相对速度和相对位移。 等式右边的加速度则为地震动的绝对加速度。
对方程（1）做进一步化简，则有：
其中，
对于方程（1）或方程（2）的求解，理论上最严谨的解法应采用杜哈梅积分。不过，虽然杜哈梅积分也可以借助卷积计算、傅里叶变换或直接积分法等进行数值计算，但整体来讲，该方法在数值计算中的可操作不强，且物理意义不明确，数学意义又过于抽象。因此，计算机程序更多地使用加速度的线性插值进行数值计算，这也符合地震动加速度时程曲线的数字化原则（即相邻的离散时刻间的加速度值线性变化）。具体如下：
假设在某时间步内的直线加速度的斜率为 s，即：
同时，采用以下的坐标变换：
综上，由式（2）、（5）~（7）可整理得到：
方程（8）为非齐次的线性常系数二阶微分方程，其初始条件为：
由高等数学的知识可知，方程（8）的通解由两部分组成：方程（8）对应的齐次方程的通解 + 方程（8）自身的一个特解。即：
2、齐次方程的通解
对于以下的齐次的线性常系数二阶微分方程：
假设 λ1 和 λ2 为方程（12）对应的以下特征方程的根：
a. 如果 λ1 ≠ λ2 且二者皆为实数，则：
b. 如果 λ1 = λ2 = λ 且二者皆为实数，则：
c. 如果 λ1 ≠ λ2 且二者皆为复数，则：
对比方程（8）和方程（12），则有：
其中，有阻尼体系的圆频率为：
故，特征方程（13）的复数根为：
整理可得：
将式（23）、（24）代入式（16），则方程（8）对应的齐次方程的通解为：
未知的积分常数 C1 和 C2 可由初始条件确定。
3、非齐次方程的特解
对于以下的非齐次的线性常系数二阶微分方程：
对于式（26）中等号右边为多项式的情况，由高等数学的知识我们可以得到该该方程的特解的通用表达式。这里，假设 R(x) 为二次函数，则有：
当 b ≠ 0 时，方程（26）的一个特解为：
对于单自由度体系的动力平衡方程（8），A = 0，所以：
因此，式（27）简化为：
根据式（8）、（17）、（18）有：
将以上各式代入式（31），则方程（8）的一个特解为：
其中，
4、非齐次方程的通解
将式（25）和式（36）叠加后即为方程（8）的通解，相对位移的表达式：
未知的积分常数 C1 和 C2 可由初始条件确定。
对式（39）微分即相对速度的表达式：
将式（39）和（40）代入初始条件即式（9）和（10）中，可得：
化简以上两式，则有：
故，积分常数的表达式如下：
5、总 结
单自由度体系的动力学平衡方程的解答如下：
a. 相对位移：
b. 相对速度：
c. 相对加速度：
其中，
等间隔分布的地震动加速度时程曲线如下图所示：
将以上各式在各个时间步内进行逐步计算，即可得到整个时程分析中各个时间点上的解答！初始时刻 t1 = 0 时，取可初始位移和初始速度皆为零。这样，得到第一个时间步结束时刻的解答后，将其作为第二个时间步的初始条件继续进行求。以此类推，即可得到全部时间点上的解答。
对于每个具有特定周期和阻尼的单自由度体系，根据上述动力时程分析的解答即可确定反应谱曲线中的一个谱值。具体如下：
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谱位移 SD：相对位移的最大值
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谱速度 SV：相对速度的最大值
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谱加速度 SA：绝对加速度的最大值
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伪谱速度 PSV：谱位移与圆频率 ω 的乘积
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伪谱加速度 PSA：谱位移与圆频率平方 ω2的乘积